体心立法格子とは?出題ポイントと解法をまとめてみた

体心立法格子
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どうも、受験化学コーチわたなべです。

 

金属結晶のうちの1つである「体心立法格子」について今日は解説していこうと思います。

あるおっさん
体心立法格子
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体心立方格子とは?

体心立法格子
体心立法格子はこのような構造です。

 

このように、単位格子の中心に原子が来る立体です。

 

まあ名前がええ感じに特徴を表してますよね!

の中に原子が来る立方

ですからね!

体心立法格子で出題される事

体心立法格子にかぎることではなく、立体はだいたいこの辺りの内容が聞かれます。

 

ほとんど同じですので、この辺りをキッチリマスターしておきましょう!

以下原子半径をr、単位格子の一辺の長さをaとして話を進めていきます。

体心立法格子内の原子数

単位格子内の原子の数は、出題されると言うより、当たり前のように使われます。なので、これはぱっぱと求められるようにしておいてください!

体心立法格子

このように体心立法格子は、角に1/8個ある。

 

そしてこれが8カ所の角にあるため、1/8×8=1個

 

これに加えて立体の中心部の1個があるため、体心立法格子の内部にある原子の個数は2個であると言える。

体心立法格子の配位数

配位数とは、ある原子に着目したときに、その原子に最も近い距離(接している)にある原子の数の事です。

体心立法格子

この体心にある原子の周りにどう見ても8個原子があります。よって配位数はです。

密度

この金属結晶の密度というのは、『単位格子の体積中に原子の質量はどれだけか?』を表します。

 

難しく考えずに、密度というのは、単位を覚えてしまえば楽勝なのです。

密度の単位

このように単位を覚えます。( )内が重要です。単位格子全体、単位格子の中の原子の質量の全てです。

 

 

そして、この単位さえ覚えてしまえば、残りは分子分母で別々に単位を求めていけば良いだけです。

 

つまり、分子のg(全体)と分母のcm3(全体)をそれぞれ求めれば良いのです。

 

この手の問題であたえられているのは、『原子量g/mol』『アボガドロ定数 個/mol』です。

分子の単位

と求めれば良いのです。原子量をM、アボガドロ定数をNa(Number of Avogadro)とおくと、

原子量の求められ方

とあらわせます。(2は体心立法格子の単位格子内の原子の個数)

 

次に分母を求めていきますが、こちらは簡単です。単位格子の体積ですから、体心立法格子の単位格子の一辺の長さをaとします。

 

 

すると

cm3(全体)=a3

となります。

 

これによって、密度は分子/分母を組み合わせて

体心立法格子の密度計算

となります。

単位格子の一辺の長さaと原子半径rの関係

この一辺の長さと原子半径の関係は、非常によく聞かれます。

 

ココで間違えると、充填率で100%間違えます。でもだからといって、覚えようとするのは愚の骨頂なので、絶対に辞めてください。

 

この単位格子の一辺の長さと原子の半径の関係を付けるためには、

 

原子を真っ二つにぶった切る必要があります。

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体心立法格子

このように、体心立法格子の真ん中にある原子を真っ二つにぶった切るようにしなければなりません。

 

そして断面図を考えます。

この断面積で体心立法格子の中心の原子の中心を通る、長方形の対角線を引きます。

この対角線の長さをrとaの両方で表すことで、rとaの関係式を作ります。

 

まず、ここを原子半径rで表すと、

体心立法格子の単位格子

この対角線の長さは4rです。

 

そして、体心立法格子の原子半径と単位格子の一辺の長さの関係

この2つの関係を組み合わせます。

 

4r=√3aとなります。

この考え方は面心立方格子でも全く同じように使う事が出来ます

 

充填率

充填率についてわからない人はコチラをご覧下さい!

5秒で充填率の求め方を理解!公式?要らなくね!

 

先ほども止めた、原子半径rと単位格子の一辺の長さaが絶妙に効いてきます。

 

充填率の単位は

充填率の単位

であるため、これを分子、分母別々に求めていきます。

体心立法格子の充填率を求める

このようになるため、

体心立法格子の充填率

となります。

 

そして、ここに先ほど求めた4r=√3aを用います。これを変形して、

充填率を求めるための施策

これを充填率の式に代入します。すると、a3が分子分母に現れてキャンセルされます。

充填率

百分率で表す事もあるため、68%で表す事もあります。

 

つまり、体心立法格子の単位格子の一辺の長さも、原子半径も関係なく体心立法格子だったら、68%が答えになります!

 

 

 

受験化学コーチわたなべ

もちろん、こんなん無理に覚えんでええからな〜

実際に体心立法格子の解法を使ってみよう

ココまでの知識をふまえれば基本的にだいたいの問題は解けます。

なので、是非この解法を運用していってみましょう!

次の文章中の空欄()に当てはまる数値をこたえよ。ただし(2)〜(4)は有効数字2桁で示せ。Fe=56,√2=1.41,√3=1.73,アボガドロ定数6.0×1023/mol

金属である鉄の結晶は体心立方格子を作っており、その単位格子中には(1)個の鉄眼氏が含まれる。鉄の単位格子の一辺の長さを2.9×10-8cmとすると、1cm3中にはおよそ(2)個の鉄眼氏が含まれる事になり、その密度はおよそ(3)g/cm3と求められる。また、最近接距離はおよそ(4)cmである。

出典:2008年近畿大学

答え

(1)2個

(2)8.2×1022

(3)7.7

(4)2.5×10-8

 

まとめ

落ちこぼれ受験生のしょうご
公式っぽいものも色々出て来たけど、別に考えたからわかるから覚えなくて良いね!
受験化学コーチわたなべ

そうそう、数値とか公式とか覚える必要は全くない。むしろ別の問題が出て来たときに、思考力が低下するので無理やり暗記は絶対にしてはいけないよ!

 

とはいえ、どうせ体心立法格子の充填率68%は自然と覚えると思うけどね!

 

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