六方最密構造の全てが明らかに!充填率も密度もまかしとけ!

六方最密構造

 

受験化学コーチわたなべ

どうも、わたなべです。

 

金属結晶の中でも一番意味不明なものがこの六方最密構造ですよね。

 

面心立方格子や体心立法格子は割と計算問題もイメージしやすいし、立体構造も考えやすいです。

 

でも、六方最密構造はなぜか立法体じゃないですし、

 

落ちこぼれ受験生のしょうご
六方最密構造

なんやこの形、、、、

っておもいますよね。

 

このつかみ所が無い六方最密構造をひもといていこうと思います。

 

また、激ムズなこの六方最密構造の計算問題をめちゃんこ簡単に解く方法も伝授します。乞うご期待!

そもそも最密構造と言うのは?

この六方最密構造ですが、最密構造の一種なんです。

 

最密構造というのは、原子の配位数が最大の12の結晶のことです。

 

六方最密構造とは、12配位でこの結晶の中で最も密度が大きい構造です。

 

12配位ってどういう状況かわからない人も多いと思います。

 

なので、どのような状態か下のように段階ごとに見ていくとスゴくわかりやすいと思います。

ゴリラでもわかる最密構造の作りかた

受験化学コーチわたなべ

ちまたでは、猿でもわかるシリーズが流行ってるからゴリラにしてやったぜ!!

ゴリラ

ステップ①主役原子の周りを平面的に最密に並べる

主役原子、つまり配位数を考えるときのど真ん中の原子の事です。

 

こいつのまわりを平面的に最密に並べます。

六方最密構造と立法最密構造

このように主役のピンク色の原子の周りをその他の原子が取り囲みます。そして、次にくぼみが出来ます。

ステップ②6個のくぼみのうち3個に原子を置く

この6カ所のくぼみのうち3個に原子を当てはめます。

 

 

立法最密構造と立法最密構造

このようになります。これで2層目まで積む事が出来ました。

ステップ③反対側にもこの3箇所に原子を3個置く

先ほどの裏側にも3個の原子の塊を置きます。

つまり、このような順番で層が重なり合っている状態が最密構造であり、12配位の状態と言えます。

六方最密構造

これが最密構造です。

そして、この最密構造の作り方が2種類あり、そのうちの1つが『六方最密構造』というわけです。

落ちこぼれ受験生のしょうご
じゃあもう一個の方の最密構造はなんて言う名前なの?

受験化学コーチわたなべ
もう一個の最密構造は、立法最密構造って言うんだ!

それでは、この2つの最密構造の違いを見ていきましょう!

六方最密構造と立法最密構造の違い

先ほどの最密構造の作り方で『1層目』『2層目』までは同じなんです。

立法最密構造と立法最密構造

このようになります。

次の3層目から少しずつ変化がつきます。便宜上

これをA層

六方最密構造と立法最密構造

そして、これをB層

六方最密構造の層

とします。

六方最密構造の場合

六方最密構造の場合は、先ほどのようにA層、次にB層を重ねて行きます。

立法最密構造と立法最密構造
次の3層目に再びA層を重ねて行きます。

六方最密構造

このようにA→B→A→B→A・・・・・・と続くのが、この六方最密構造なのです。

立法最密構造の場合

立法最密構造の場合は、先ほどのようにA層、次にB層を重ねて行きます。

立法最密構造と立法最密構造

ここまでは六方最密構造と全く同じ手順です。

 

しかし立法最密構造というのは、C層という新しい層を考えていきますよ。

立法最密構造の層

B層と似てますが、ちょっとだけ違います。B層はこういう感じです。

立法最密構造の層

立法最密構造というのは、A→B→C→A→B→C→・・・・・という風に並ぶ構造を言います。

立法最密構造

となります。これが立法最密構造です。

このような違いがあります。

立法最密構造の実は、、、、

立法最密構造というのは衝撃の真実を隠しているのです。

 

それは、立法最密構造=面心立方格子ということです。

 

立法最密構造をある角度でみれば、面心立方格子であるということです。

その様子を3Dで説明している動画がコチラです。

六方最密構造の単位格子ってどれやねん!

六方最密構造ってどれが単位格子やねん!!って思いますよね。

六方最密構造

実は、これ全体が単位格子という訳ではありません。

六方最密構造の単位格子

このように、六方最密構造の六角柱のうちの1/3が単位格子です。

 

 

実は、この単位格子は、六角中の1/3の部分なのです。とはいえ、最密構造をわかりやすくするには、3つ繋げて六角柱にしたほうがイメージがしやすいのです。

 

 

それでは、六方最密構造の計算問題の解説に入っていきましょう!

六方最密構造の計算問題

これが厄介です。六方最密構造の『密度』や『充填率』の計算は非常に厄介です。

 

なので、後ほど裏ワザの解答法をお教えします。

 

単位格子の原子数

六方最密構造の単位格子

先ほどのこの単位格子の部分の中にある原子の数を考えていきましょう!

 

まずこの部分、

六方最密構造

この部分は、同じ大きさで原子の1/6です。

六方最密構造

だから1/6×4個あります。

さらにこの60°の角度で1/12の場所が4カ所あります。

六方最密構造の角度

これが4カ所にあります。

 

六方最密構造の最後の1個はここ

そして、この2つを合わせて1個となります。

 

つまり、全部合わせると、1/6×4+1/12×4+1=2個です。

 

配位数

先ほど説明した通り12配位です!!

密度

この辺りから、激しく難しくなります。というか面倒になります。

 

なので、後の裏わざにも注目してくださいね!

まず密度を求めるために体積を求めます!

 

この体積を求めるのが一苦労なんですよ。

まず六方最密構造の高さを求めるだけで一苦労なのです。

 

高さを求めるのですが、これは正四面体の高さを利用します。

六方最密構造

これがきっちり装着されたものが六方最密構造ですよね。

正四面体

一部を取ると、このように正四面体なんです。この高さの2倍がこの六方最密構造の高さなのです!

 

六方最密構造の高さ

つまり、今から求めなければならないのは、

正四面体

ちなみにBCの距離は

原子の直径

この原子の中心の距離ですから、原子半径rの2倍。

これより、正四面体の高さは、

正四面体の高さ

になります。

この辺りは、中学生のときの三平方の定理や数学Aを思い出して解いてみてください!

 

つまり、これの2倍が六方最密構造の高さです。

そして、底面の面積を考える必要があります。底面積はこちらになります。

 

だから、これで底面積と高さが出て来たのでそれを掛け合わせて

 

 

 

超裏ワザ!六方最密構造の計算問題の難易度を1/100にする方法

六方最密構造の計算問題はこのように正四面体の幾何学の計算がややこしく入り組んでいるため、メチャクチャ面倒です。

 

だから、必殺技を使います!!

 

その必殺わざとは、、、

 

立法最密構造も最密構造に変わりはないよね!作戦!!! 

 

です。

 

同じく12配位の面心立法格子だと考えて密度を求めても一緒だよね〜

 

充填率だってもちろん同じだよね〜と言うふうな作戦をします。

 

実際にこのように問題集で解説がなされている場合もかなりあります。

 

 

計算問題を解く上では、確認にはなると思いますので、最終的に確認ではこれを使ってみてください!

 

なので、面心立方格子が同様の最密構造であるということを利用してみましょう!

最後に

この記事ではなかなか詳しく六方最密構造について解説してきました。

 

12配位にはどのようにしてなったのかとか、キッチリ理解できたのではないかと思います。

 

また、計算問題は難しい計算もありますが、抜け道もありますのでどちらも出来るようにしておいてください。

 

それでは

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