六方最密構造の密度、充填率、配位数全ての求め方をはじめから丁寧に

六方最密構造

どうも、受験化学コーチわたなべです。

六方最密構造って、これまでの体心立方格子や面心立方格子とは異なり、突然六角柱の図形が出てきてかなり戸惑いますよね。面心立方格子や体心立方格子よりもやや難しいです。

六方最密構造

図形的にもイメージしにくいし、計算的にも面倒です。しかし、考え方や出題される問題は全く同じです。

  1. 単位格子内の原子数
  2. 配位数
  3. 単位格子一辺の長さと原子半径の関係
  4. 密度
  5. 充填率

これだけです。計算がややこしいといっても面倒くさいだけで難しくはありません。なので、恐れることなく、そして苦手意識を持つことなく楽々乗り越えてください。

 

ちなみに、最低最悪の裏技も教えていこうかと思います。六方最密構造のだるい計算をかなりずるい方法で乗り越えるやり方も教えます。

※今回の記事は一見長く見えますが、実際は画像が多いからです。普通に読めば5分で読み終わることができます。余裕があれば実際に手を動かして六方最密構造の密度や充填率を求めてください。力つきますよ。

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六方最密構造とは?

六方最密構造

正六角柱の最密構造のことを六方最密構造と言います。最密構造=12配位(1個の原子の周りに12個の原子が近接している状態)なので、この構造が原子がもっともギュウギュウに詰まっている状態です

補足

ちなみに、同じく12配位の面心立方格子も最密構造なので、面心立方格子=立方最密構造という名前もあります。

面心立方格子とは?配位数、充填率、密度など5大出題ポイント総まとめ

ということで、実際どのように最密構造になるのかはわからないと思うので、具体的に六方最密構造がどのような構造なのか原子を並べながら確認していこうと思います。

かなりイメージが鮮明になると思います。

六方最密構造を順を追って作りあげてみた。

六方最密構造

ステップ①1個の原子を取り囲むように平面に原子を並べる

六方最密構造のメイン

まずは7個以下のように並べます。こうすると、この原子の並びの中に6箇所のくぼみができます。

六方最密構造のくぼみ

ステップ②6箇所のくぼみのうち、3箇所に原子をおく

六方最密構造

このようになります。

さらに、わかりやすいようにアニメーションがありますので、こちらも合わせてご覧ください。(※ちなみに無音ですので、電車の中でも、イヤホンがなくても、授業中こっそりでも安心して視聴できます)

六方最密構造で入試で問われる単位格子の計算まとめ

 

ほかの結晶構造と全く同じで六方最密構造も単位格子の内容が問われます。ただ、この六角柱の構造が単位格子なわけではありません。

 

単位格子は、最初の繰り返し単位ですので、下のようにこの六角柱の3分の1が六方最密構造の単位格子です

六方最密構造の単位格子

六方最密構造もほかの結晶と一緒で入試で出る内容は一緒で、5つです。

  1. 単位格子内の原子数
  2. 配位数
  3. 単位格子一辺の長さと原子半径の関係
  4. 密度
  5. 充填率

これを1つずつじっくり確認していきます。

1.六方最密構造の単位格子内の原子数

六方最密構造の単位格子

先ほどのこの単位格子の部分の中にある原子の数を考えていきましょう!

 

まずこの部分、

六方最密構造

この部分は、同じ大きさで原子の1/6です。

六方最密構造

だから1/6×4個あります。

さらにこの60°の角度で1/12の場所が4カ所あります。

六方最密構造の角度

これが4カ所にあります。

 

六方最密構造の最後の1個はここ

そして、この2つを合わせて1個となります。つまり、全部合わせると、1/6×4+1/12×4+1=2個です。

2.配位数

六方最密構造

六方最密構造の配位数を求める時は少しコツが必要です。それは、六方最密構造を2つ並べることです。

六方最密構造の配位数

このように、青色の原子が赤色の原子に最近接しています。この考え方は、面心立方格子でも使いますので、覚えておいてください。この考え方をバッチリまとめたのがこちらの記事です。

3.原子半径と単位格子の一辺の長さの関係

これは、かなり簡単です。

六方最密構造の単位格子の1辺の長さ

このように六方最密構造の単位格子の一辺をaとして、原子半径をrとします。すると、

一辺の長さと半径の大きさ

このような関係なので、

a=2r

です。簡単ですよね。

 

それでは、4,5の密度と充填率、これが恐ろしく面倒臭いのです。面倒臭い理由は、「六方最密構造の体積」です。体積を求めるのが、

 

ですが、化学で出てくるから「ウッ」となるだけで、計算のレベルでいうと中学生レベルなので、気後れすることなく取り組んでください。

※この後に、記述ではなかなか使えない超裏技を教えます。

4.密度

重要ポイント
  1. 密度は機械的に求めろ 密度の単位を確認して分子と分母を別々作り出すだけで求められる。
  2. 単位格子で求めるというよりも、単位格子3つを重ねた六角柱で求める。

六方最密構造もほかの面心立方格子、体心立方格子と全く同じように求めることができます。まずは単位を確認します。

密度の単位

そして、多くの人は気づくはずです。分母の六方最密構造の体積を求めるのがクソ面倒であると、、、ですが、逆にいうと六方最密構造に苦手意識を持っている人は、「体積」さえ乗り切ればあとは余裕なんですよ。

 

六方最密構造になんとなく苦手意識を持っている人も多いんですが、その原因は全て化学じゃなくて数学が面倒なだけなんです。ここの計算さえ乗り切れば余裕なので、安心して読み進めていってください。

 

また、密度は単位格子だろうと単位格子を3つ重ねたものだろうと変わりません。水1ℓと5ℓでは密度変わりませんよね? それは、体積が増えた分質量も増えるからです。

 

よって、計算のしやすい単位格子を3つ重ねた六角柱で計算をします。

六方最密構造の体積を求める手順

とにかく、こういう問題を見ると面倒臭くなるし、頭が拒否反応を起こしますよね。でも安心してください。物事を細分化して求めていきましょう。

 

結局は底面積と高ささえ求めればいいのです。

また、先ほど言いましたように六方最密構造の単位格子ではなく単位格子を3つ並べている六角柱の体積を求めていきます。

ステップ①:求めるべき高さの半分の正四面体を取り出す。
六方最密構造の求めたい高さ

六方最密構造の高さは上の画像の通り。そして、この高さは、真ん中の正四面体の高さの2個分なんですよ。

六方最密構造の高さを求める

よって、この正四面体の高さを求めることができればそれを2倍したら六方最密構造の高さになります。なので、この正四面体の高さを求めていきます。

ステップ②:Aから底面BCDに垂線を引く
六方最密構造の半分の高さの正四面体を抜き出す

このように、六方最密構造の正四面体の頂点に上のようにA,B,C,Dとつけて説明していきます。とはいえ、これは余裕で中学数学なので、本当は当たり前のように自分で求められないといけません。

 

このようにAから垂線を引きます。ちなみに、正四面体の1辺の長さは原子半径2つ分なので2rです。

正四面体の高さを求める

このようになります。

ステップ③:DHの距離を求める(Hは△BCDの重心)
重要ポイント

Hは△BCDの重心なので、DMを2:1に分ける

これより、DHの長さは、√3rを2:1に分けるので

となります。

ステップ③AHを三平方の定理で求める
三平方の定理でAHを求める

このように直角三角形ADHができましたので、AHを計算で求めていきます。

三平方の定理

これで、AHを計算すると、

AH

になります。

ステップ④六方最密構造の高さはAHの2倍
六方最密構造の高さを求め切った

よってやっと六方最密構造の高さを求めることができました。次は、高さがわかったので、底面積です。

ステップ⑤底面の正三角形の面積を求める
六方最密構造の底面積は正三角形が6個

このように、六方最密構造の底面積は正三角形が6個繋げたものです。

底面の1個の正三角形の面積 正三角形の面積

このようになります。よって、六角柱の面積は

六角形の面積

これでやっと準備ができました。

ステップ⑥:底面積×高さ
六方最密構造の体積

これを掛けることで、六方最密構造の体積を求めることができました。

ここで、気をつけて欲しいのが、かなり面倒な計算があったと思うのですが、「六方最密構造=難しい」と認識しないでください。ただただ、六方最密構造の単位格子の体積を求めるのがだるいだけです。難しくはありません。

六方最密構造の六角形の中の質量

この式に当てはめるので、g/mol=Mとする、mol/個=1/NA(Number of avogadoro:アボガドロ定数)、また、六方最密構造の単位格子には原子が2個ありますので、それが3つ並んだ六角柱は、原子は6個です。

なので、六方最密構造の六角柱の質量は

六角柱の質量

になります。

密度を求める

六方最密構造の密度(結論)

すごく大変でしたね。。

それでは、最後に充填率を求めていきます。充填率の山場は六方最密構造の体積を求めるところなので、密度で求めた体積をそのまま使えます。

よって楽勝です。

充填率

重要ポイント

充填率は単位を覚えて、その単位を分子分母別々に作ろうと考えれば良い。

充填率も密度と同様、単位を覚えて分子分母別々に作ればいいのです。充填率は、

六方最密構造の充填率の割合

を表します。よって、充填率の単位は、

充填率の単位

です。分母はすでに求めています。

六方最密構造の体積

これより、あとは分子の六方最密構造の六角柱の中の原子の体積を求めることができればオッケーです。

六方最密構造の六角柱の中にある原子の体積はこのようになります。

六方最密構造の原子の体積

よって、充填率は、

六方最密構造の充填率

しかも、原子半径のr3は打ち消しあうので、定数になります。これを計算すると0.74になります。

よって、六方最密構造の充填率は、74%です。

補足

ちなみに、この六方最密構造の74%は、面心立方格子と全く同じです。なぜなら両方とも最密構造だからです。

では、ある程度六方最密構造の内容は網羅したのですが、このあとは最密構造についてまとめていこうと思います。

六方最密構造と立方最密構造の違い

先ほどの最密構造の作り方で『1層目』『2層目』までは同じなんです。

立法最密構造と立法最密構造

このようになります。

次の3層目から少しずつ変化がつきます。便宜上

これをA層

六方最密構造と立法最密構造

そして、これをB層

六方最密構造の層

とします。


六方最密構造の場合

六方最密構造の場合は、先ほどのようにA層、次にB層を重ねて行きます。

立法最密構造と立法最密構造
次の3層目に再びA層を重ねて行きます。

六方最密構造

このようにA→B→A→B→A・・・・・・と続くのが、この六方最密構造なのです。


立方最密構造の場合

立方最密構造の場合は、先ほどのようにA層、次にB層を重ねて行きます。

立法最密構造と立法最密構造

ここまでは六方最密構造と全く同じ手順です。

 

しかし立方最密構造というのは、C層という新しい層を考えていきますよ。

立法最密構造の層

B層と似てますが、ちょっとだけ違います。B層はこういう感じです。

立法最密構造の層

立方最密構造というのは、A→B→C→A→B→C→・・・・・という風に並ぶ構造を言います。

立法最密構造

となります。これが立方最密構造です。


このような違いがあります。

 

その様子を3Dで説明している動画がコチラです。

 

超裏ワザ!六方最密構造の計算問題の難易度を1/100にする方法

六方最密構造の計算問題はこのように正四面体の幾何学の計算がややこしく入り組んでいるため、メチャクチャ面倒です。

 

だから、必殺技を使います!!

 

その必殺わざとは、、、

 

立方最密構造も最密構造に変わりはないよね!作戦!!! 

です。

 

同じく12配位の面心立方格子だと考えて密度を求めても一緒だよね〜

 

充填率だってもちろん同じだよね〜と言うふうな作戦をします。

 

実際にこのように問題集で解説がなされている場合もかなりあります。

 

 

計算問題を解く上では、確認にはなると思いますので、最終的に確認ではこれを使ってみてください!

 

なので、面心立方格子が同様の最密構造であるということを利用してみましょう!

最後に

この記事ではなかなか詳しく六方最密構造について解説してきました。

 

12配位にはどのようにしてなったのかとか、キッチリ理解できたのではないかと思います。

 

また、計算問題は難しい計算もありますが、抜け道もありますのでどちらも出来るようにしておいてください。

 

それでは

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ABOUTこの記事をかいた人

受験化学コーチわたなべ

浪人の夏休みまで死ぬほど勉強したにも関わらず偏差値50を割ることも。そんな状態から効率よく化学を学び化学の偏差値を68まで爆発的に伸ばした。その経験を塾講師としてリアル塾で発揮するも、携われる生徒の数に限界を感じ化学受験テクニック塾を開講。 自己紹介の続きを読む。